Phép tính đại số

Cho hàm số f: M → N giữa hai không gian mêtric M và N. Nếu N là một không gian định chuẩn thì toán tử giới hạn là tuyến tính theo nghĩa sau:

• Nếu giới hạn của f(x) và g(x) khi x tiến tới a lần lượt là L và K thì giới hạn của f(x) + g(x) khi x tiến tới a là L + K
• Nếu α là một scalar từ trường của N thì giới hạn của αf(x) khi x tiến tới a là αL.

Nếu f là một hàm thực (hoặc phức) thì việc lấy giới hạn vẫn bảo toàn các phép toán đại số thông thường, với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại (đẵng thức cuối chỉ đúng nếu mẫu số ở vế trái khác không).

lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) + lim x → a g ( x ) lim x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) − lim x → a g ( x ) lim x → a ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) ⋅ lim x → a g ( x ) lim x → a ( f ( x ) / g ( x ) ) = lim x → a f ( x ) / lim x → a g ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to a}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)+\lim \limits _{x\to a}g(x)\\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)-\lim \limits _{x\to a}g(x)\\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to a}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to a}g(x)\\\lim \limits _{x\to a}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to a}f(x)/\lim \limits _{x\to a}g(x)}\end{matrix}}}

Trong mỗi trường hợp trên, ngay cả khi giới hạn ở vế phải không tồn tại, hoặc giới hạn ở tử và mẫu trong đẳng thức cuối đều bằng không (gọi là dạng bất định), thì giới hạn ở vế trái vẫn có thể tồn tại, tùy thuộc vào các hàm số f và g. Ví dụ như nếu f(x) = 1/x và g(x) = −1/x, khi ấy:

lim x → 0 f ( x ) = ∞ lim x → 0 g ( x ) = − ∞ lim x → 0 f ( x ) + g ( x ) = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}&\lim \limits _{x\to 0}f(x)&=&\infty \\&\lim \limits _{x\to 0}g(x)&=&-\infty \\&\lim \limits _{x\to 0}f(x)+g(x)&=&0\end{matrix}}}

Một ví dụ khác là hàm sinc f(x) = sin x/x đã được giới thiệu ở trên. Cả sin x và x đều tiến về 0 khi x tiến về 0, tuy nhiên f(x) có giới hạn là 1 khi x tiến về 0.

Những quy tắc trên cũng hợp lệ với giới hạn một bên, giới hạn ở vô cùng và giới hạn vô hạn, với những quy tắc sau:

• q + ∞ = ∞ với q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ với q > 0
• q × ∞ = −∞ với q < 0
• q / ∞ = 0 với q ≠ ± ∞

(xem trục số thực mở rộng)

Lưu ý rằng không có quy tắc tổng quát nào cho trường hợp q/0; tất cả phụ thuộc vào các hàm số đã cho. Các dạng bất định—ví dụ như 0/0, 0×∞, ∞−∞, và ∞/∞—cũng không thể áp dụng những quy tắc trên được, nhưng thường có thể được tính bằng quy tắc l'Hôpital hoặc định lý kẹp.

Giới hạn của hàm hợp

Nói chung, khi có

lim y → b f ( y ) = c {\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c} và lim x → a g ( x ) = b {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b} ,

ta không suy ra được lim x → a f ( g ( x ) ) = c {\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c} . Tuy nhiên, quy tắc này là đúng nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

• f(b) = c (tức là f liên tục tại b), hoặc
• g không nhận giá trị b ở gần a (tức là, tồn tai một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì g(x) ≠ b

Một ví dụ cụ thể, ta xét hai hàm không thỏa mãn cả hai điều kiện trên:

f ( x ) = g ( x ) = { 0 n e ^ ´ u x ≠ 0 1 n e ^ ´ u x = 0 . {\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} x\neq 0\\1&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} x=0\end{cases}}.}

Dễ thấy rằng

lim x → a f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0} với mọi a {\displaystyle a} .

Do đó, áp dụng quy tắc hợp mà không dùng điều kiện trên dẫn đến giới hạn của f(f(x)) là 0. Tuy nhiên, thực tế là

f ( f ( x ) ) = { 1 n e ^ ´ u x ≠ 0 0 n e ^ ´ u x = 0 {\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} x\neq 0\\0&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} x=0\end{cases}}}

và do đó

lim x → a f ( f ( x ) ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1} với mọi a {\displaystyle a} .

Giới hạn đặc biệt

Hàm phân thức

Với số nguyên không âm n và các hằng số a1, a2, a3, ..., an và b1, b2, b3, ..., bn,

• lim x → ∞ a 1 x n + a 2 x n − 1 + a 3 x n − 2 + . . . + a n b 1 x n + b 2 x n − 1 + b 3 x n − 2 + . . . + b n = a 1 b 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}{x}^{n}+a_{2}{x}^{n-1}+a_{3}{x}^{n-2}+...+a_{n}}{b_{1}{x}^{n}+b_{2}{x}^{n-1}+b_{3}{x}^{n-2}+...+b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}

Điều này có thể chứng minh bằng cách chia cả tử và mẫu cho xn. Nếu đa thức ở tử có bậc lớn hơn đa thức ở mẫu, giới hạn này không tồn tại (bằng vô cùng). Nếu đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn thì giới hạn này bằng 0.

Hàm lượng giác

• lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
• lim x → 0 1 − cos ⁡ x x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
• lim x → ∞ x sin ⁡ ( 1 x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}

Hàm mũ

• lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = lim r → ∞ ( 1 + 1 r ) r = e {\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=\lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e}
• lim x → 0 e x − 1 x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}
• lim x → 0 e a x − 1 b x = a b {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}}
• lim x → 0 c a x − 1 b x = a b ln ⁡ c {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}\ln c}
• lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}

Hàm logarit

• lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}
• lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + a x ) b x = a b {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}
• lim x → 0 log c ⁡ ( 1 + a x ) b x = a b ln ⁡ c {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b\ln c}}}

Quy tắc l'Hôpital

Quy tắc này sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của dạng bất định như 0/0 hay ±∞/∞, và chỉ áp dụng được trong những trường hợp đó.Cho hai hàm số f(x) và g(x), được định nghĩa trên một khoảng mở I chứa điểm giới hạn c. Nếu cả bốn điều kiện sau đều được thỏa mãn:

1. lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 , {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,} hoặc lim x → c f ( x ) = ± lim x → c g ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }
2. f {\displaystyle f} và g {\displaystyle g} khả vi trên I ∖ { c } {\displaystyle I\setminus \{c\}}
3. g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} với mọi x ∈ I ∖ { c } {\displaystyle x\in I\setminus \{c\}}
4. lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} tồn tại,

thì:

lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}

Ví dụ: lim x → 0 sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( 3 x ) = lim x → 0 2 cos ⁡ ( 2 x ) 3 cos ⁡ ( 3 x ) = 2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 = 2 3 . {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}

Tổng và tích phân

Thay vì viết giới hạn ở vô cùng, ta thường đặt vô cùng lên các chặn của tổng hoặc tích phân. Ví dụ:

lim n → ∞ ∑ i = s n f ( i ) = ∑ i = s ∞ f ( i ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)=\sum _{i=s}^{\infty }f(i)} lim x → ∞ ∫ a x f ( t ) d t = ∫ a ∞ f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt=\int _{a}^{\infty }f(t)\;dt} . lim x → − ∞ ∫ x b f ( t ) d t = ∫ − ∞ b f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt=\int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt} .